Nouveau modèle d'appareil photo

Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d'appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.

Il a constaté, lors d'une précédente promotion, que :

• \(20\)  % des clients achètent l'appareil photo en promotion ;
  
• \(70\)  % des clients qui achètent l'appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion ;
  
• \(60\)  % des clients n'achètent ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
  

On suppose qu'un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion.

Un client entre dans le magasin :

• on note \(\text A\)  l'évènement : « Le client achète l'appareil photo en promotion. »
  
• on note \(\text C\)  l'évènement : « Le client achète la carte mémoire en promotion. »
  

1. a. Donner les probabilités \(P\left(\overline{\text A}\right)\)  et  \(P\left(\overline{\text A} \cap \overline{\text C}\right)\) .
     b. Un client n'achète pas l'appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion.

2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

3. Montrer que la probabilité qu'un client achète la carte mémoire en promotion est de  \(0,34\) .

4. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l'appareil photo en promotion. Arrondir le résultat au millième près.

5. Le commerçant fait un bénéfice de \(30\)  euros sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de \(4\)  euros sur chaque carte mémoire en promotion.
    a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n'est demandée.

    b. Pour \(100\)  clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?

Exercice du baccalauréat, filière ES, Amérique du Nord, juin 2010